Embedded Files
BAB 2
PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT
Pada pertemuan 1 ,kalian sudah memahami tentang apa itu persaamaan kuadrat yang memiliki bentuk umum ax2 + bx + c =0,
Pada pertemuan 1 ,kalian sudah memahami tentang apa itu persaamaan kuadrat yang memiliki bentuk umum ax2 + bx + c =0,
Dengan a, b, c ∈ R dan a ≠ 0
Dengan a, b, c ∈ R dan a ≠ 0
Keterangan:
Keterangan:
x = variabel
x = variabel
a = koefisien kuadrat dari x2
a = koefisien kuadrat dari x2
b = koefisien liner dari x
b = koefisien liner dari x
c = konstanta
c = konstanta
hari ini kita akan melanjutkan materinya yaitu:
hari ini kita akan melanjutkan materinya yaitu:
Menentukan akar-akar dari persamaan kuadrat
Menentukan akar-akar dari persamaan kuadrat
Menentukan jumlah dan hail kali akar dan
Menentukan jumlah dan hail kali akar dan
Menentukan nilai diskriminan (D) dan sifat-sifat akar
Menentukan nilai diskriminan (D) dan sifat-sifat akar
Membuat persamaan baru
Membuat persamaan baru
Untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat dapat kita lakukan dengan tiga cara yaitu:
Untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat dapat kita lakukan dengan tiga cara yaitu:
- Faktorisasi
- Melengkapkan kuadrat sempurna
- Rumus Abc
- Faktorisasi
Faktorisasi atau pemfaktoran merupakan cara mencari akar-akar persamaan kuadrat dengan mencari nilai yang jika dikalikan akan menghasilkan nilai lain. Ada tiga bentuk persamaan kuadrat dengan faktorisasi akar-akar yang berbeda seperti berikut:
Cara menfaktorkan dengan faktorisasi
- Pemaktoran bentuk ax2 + bx + c, a=1
Bentuk di atas merupakan persamaan kuadrat dengan a=1. Untuk memfaktorkannya, cari dua bilangan yang memenuhi syarat berikut.,misalkan bilangan 1 adalah m dan bilangan 2 adalah n
- Jika dikali menghasilkan nilai c. atau m x n = c
- Jika dijumlah menghasilkan nilai b. atau m+n = b Perhatikan bahwa tanda positif dan negatif di belakang b dan c, dimasukkan dalam perhitungan.
Jika diperoleh nilai m dan n . Maka bentuk tersebut bisa difaktorkan menjadi (x+m)(x+n)=0.
Jika diperoleh nilai m dan n . Maka bentuk tersebut bisa difaktorkan menjadi (x+m)(x+n)=0.
Contoh 1
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat x2 + 7x + 12 dengan pemfaktoran.
Pada persamaan di atas, diketahui
dengan melihat bentuk umum persamaan kuadrat ax2 + bx + c, kita tentukan nilai a,b,c
a=1,
b=7, dan
c=12.
selanjutnya Kita akan mencari dua bilangan misalkan bilangan 1 =m dan bilangan 2= n yang memenuhi jika m+n akan menghasilkan nilai b =7
jika mx n akan menghasilkan nilai c= 12
atau
m+n=b=7
m×n=c=12
Nilai m dan n yang memenuhi syarat tersebut di atas adalah 4 dan 3,
karena
4+3 =7
4x3=12
sehingga dapat dituliskan (x+4)(x+3)=0. Diperoleh
x+4=0⟹x=−4
atau
x+3=0⟹x=−3
Jadi, himpunan penyelesaiannya {−4,−3}.
Pemfaktoran Bentuk ax2 + bx + c dengan a ≠ 1, a ≠ 0
Pemfaktoran Bentuk ax2 + bx + c dengan a ≠ 1, a ≠ 0
Ada dua cara untuk memfaktorkan bentuk aljabar ax2 + bx + c dengan a ≠ 1 sebagai berikut.
Cara Pertama Dengan Menggunakan sifat distributif
ax2 + bx + c = ax2 + mx + nx + c dengan
m × n = a + c dan
m+ n = b
contoh soal
Faktorkanlah bentuk aljabar berikut dengan menggunakan cara distributif.
2x2 + 7x + 3
penyelesaian:
2x2 + 7x + 3 diperoleh nilai a=2, b=7 dan nilai c =3
kita mencari nilai m dan n dimana
m × n = a + c atau mxn=2+3=5
m+ n = b= 7
Dua bilangan yang tersebut adalah 6 dan 1
karena
6+1 =7
dan
6x1= 7
, sehingga
2x2 + 7x + 3
= 2x2 + x +6x + 3
= (2x2 + x) + (6x + 3)
= x(2x + 1) + 3(2x + 1)
= (x + 3)(2x + 1)
x+3=0⟹x=−-3
(2x+1)=0⟹x=−1/2
Jadi, himpunan penyelesaiannya {−1/2,−3}.
Cara Kedua dengan Menggunakan Rumus
ax2 + bx + c = 1/a (ax + m) (ax + n) dengan
m × n = a × c dan
m + n = b
contoh soal:
Faktorkanlah bentuk aljabar berikut dengan menggunakan rumus
2x2 + 7x + 3
penyelesaian:
2x2 + 7x + 3 diperoleh nilai a=2, b=7 dan nilai c =3
kita mencari nilai m dan n dimana
m × n = a + c atau mxn=2+3=5
m+ n = b= 7
Dua bilangan yang tersebut adalah 6 dan 1
karena
6+1 =7
dan
6x1= 7
2x2 + 7x + 3
= ½ (2x + 6)(2x + 1)
= ½ × 2 (x + 3)(2x + 1)
= (x + 3)(2x + 1)
x+3=0⟹x=−-3
(2x+1)=0⟹x=−1/2
Jadi, himpunan penyelesaiannya {−1/2,−3}.
2. Melengkapkan Kuadrat sempurna
Untuk menyelesaikan ax2 + bx + c = 0 dengan cara melengkapkan kuadrat:
Berdasarkan proses di atas, kita bisa menuliskan langkah-langkah dalam menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna.
1). Koefisien x² yaitu a harus 1, atau dibuat menjadi 1.
2). Persamaan dinyatakan dalam bentuk x²+mx = n
3). Kedua ruas persamaan ditambah dengan (½ koefisien x)².
4). Persamaan dinyatakan dalam bentuk kuadrat sempurna, yaitu (x+p)² = q.
5). Nilai x dicari dengan menggunakan sifat (x+p)² = q ⇔ x+p = ±√q.
Contoh : Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat
x² + 3x = 10
⇔ x²+3x+(1,5)² = 10+(1,5)²
⇔ (x+1,5)² = 12,25
⇔ x+1,5 = ± √12,25
⇔ x+1,5 = ± 3,5
⇔ x = -1,5±3,5
⇔ x1 = -1,5 + 3,5 dan x2 = -1,5 – 3,5
⇔ x1 = 2 x2 = -5
akar-akar persamaan x² + 3x = 10 adalah x1 = 2 dan x2 = -5
3.Rumus ABC
Rumus ABC ialah sebuah rumus untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat. Rumus ABC, atau yang lebih dikenal sebagai rumus persamaan kuadrat, tersusun dari huruf A, B, dan C dimana masing-masing adalah koefisien dari x2, koefisien x dan konstanta. Rumus ini biasanya digunakan untuk penyelesaian masalah hitungan yang rumit dan rumus ABC mempermudah proses perhitungan menjadi lebih mudah dipahami dan dimengerti.
Persamaan kuadrat yang dipergunakan dalam rumus ABC secara umum yakni ax2 + bx + c = 0; dimana a≠0.
Selain rumus persamaan kuadrat, rumus ABC juga mempunyai rumus tersendiri yang dapat digunakan untuk mencari nilai dari x. Berikut penjelasannya:
Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Rumus
Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus, ditempuh langkah-langkah berikut ini.
1). Persamaan harus dinyatakan dengan bentuk umum atau bentuk baku persamaan kuadrat, yaitu ax²+bx+c = 0.
2). Dari persamaan ax²+bx+c = 0, tentukanlah nilai a, b, dan c.
3). Dengan cara mengganti nilai a, b dan c, gunakan rumus penyelesaian persamaan kuadrat atau rumus abc berikut ini.
Bilangan yang di bawah tanda akar pada rumus di atas disebut Diskriminan ( D ), yang di mana D = b2 − 4ac
Bilangan yang di bawah tanda akar pada rumus di atas disebut Diskriminan ( D ), yang di mana D = b2 − 4ac
Sifat-sifat akar
Sifat-sifat akar
Apabila nilai D < 0, maka nilai dari akar-akarnya tidak real.
Apabila nilai D > 0, maka nilai dari akar-akar dikatakan real (dengan catatan nilai x1, x2 R), serta nilai x1 tidak sama dengan nilai x2 atau x1 ≠ x
Apabila nilai D = 0, maka nilai dari akar-akar dikatakan real (dengan catatan nilai x1, x2 R), serta nilai x1 sama dengan nilai x2 atau x1 = x
Contoh soal menentukan nilai diskriminan
TentukanDiskriminan (D) dari persamaan
x – 10x + 16 = 0
Penyelesaian :
Diketahui :
a = 1
b = -10
c = 16
Ditanya : D =….?
Jawab :
D = b – 4ac
D = (-10) – 4 . 1 . 16
D = 100 – 64
D = 36
Jadi, nilai Diskriminan dari persamaan tersebut adalah = 36
3x – 36 = 0
Penyelesaian :
Diketahui :
a = 3
b = 0
c = -36
Ditanya : D =….?
Jawab :
D = b – 4ac
D = 0 – 4 . 3 . (-36)
D = 0 + 432
D = 432
Jadi, nilai Diskriminan dari persamaan tersebut adalah = 432
Contoh Soal dan Pembahasan Rumus ABC
Contoh Soal dan Pembahasan Rumus ABC
Contoh 1: Tentukan akar-akar dari persamaan x2 + 8x + 12 = 0 menggunakan rumus ABC.
Jawab:
Kesimpulannya, akar dari x1 = -6 atau x2 = -2, dan bisa dituliskan dalam bentuk HP = {-6,-2}.
Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar
Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar
Bentuk umum persamaan kuadrat biasanya dinyatakan melalui persamaan ax2 + bx + c = 0. Persamaan tersebut memiliki dua akar-akar yang memenuhi persamaan. Melalui bentuk umum persamaan kuadrat, dapat diperoleh nilai akar-akar dalam bentuk umum. Berikut ini adalah nilai x1 dan x2 yang memenuhi bentuk umum persamaan kuadrat.
Sehingga, rumus jumlah akar-akar persamaan kuadrat adalah sebagai berikut.
Rumus Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat
Rumus Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat
Cara untuk menentukan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat hampir sama dengan cara mencari jumlah akar-akarnya. Penurunan rumusnya menggunakan bentuk umum dari nilai dan dari bentuk umum persamaan kuadrat. Berikut ini adalah langkah-langkah penurunan rumus hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.
Demikianlah ulasan materi tentang rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat. Berikut ini adalah rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.
Menyusun Persamaan Kuadrat
Menyusun persamaan kuadrat artinya membentuk persamaan kuadrat jika akar-akarnya diketahui. Apabila akar-akar persamaan kuadrat adalah x1 dan x2 maka persamaan kuadratnya disusun dengan menggunakan rumus berikut :
(x-x1)(x-x2) = 0
contoh 1:
Jika akar-akar persamaan kuadrat adalah x1 = 3 serta x2 = 4, maka persamaan kuadratnya ditentukan dengan cara berikut ini.
(x-x1) (x-x2) = 0
⇔ (x-3) (x-4) = 0
⇔ x²-4x-3x+12 = 0
⇔ x² – 7x +12 = 0
Jadi persamaan kuadrat dengan akar-akar x1 = 3 dan x2 = 4 adalah x² – 7x +12 = 0.
Menyusun Persamaan Kuadrat yang Diketahui Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akarnya
Jika suatu persamaan kuadrat memiliki akar-akar x1 dan x2, dan diketahui (x1 + x2) dan (x1.x2) maka persamaan kuadratnya dapat dinyatakan dalam bentuk
x2 – (x1 + x2)x + x1.x2 = 0
untuk contoh soalnya bisa diliat dilink https://www.edutafsi.com/2015/05/soal-dan-jawaban-menyusun-persamaan-kuadrat-baru.html
Menyelesaikan Soal Cerita
Dalam menyelesaikan soal-soal cerita yang berkaitan dengan persamaan kuadrat, ditempuh langkah-langkah berikut ini.
1). Salah satu hal yang belum diketahui atau ditanyakan dimisalkan dengan x (atau variabel lainnya), kemudian hal yang lainnya dinyatakan dalam bentuk kalimat matematika (kalimat terbuka) yang memuat x.
2). Bentuklah persamaan dalam x, kemudian selesaikanlah.
3). Pilihlah penyelesaian atau akar yang memenuhi (mungkin hanya satu penyelesaian, mungkin juga kedua-duanya).
catatan :
Tidak semua soal cerita yang berkaitan dengan persamaan kuadrat memerlukan permisalan.
Page updated
Report abuse